一、(15分) 构造一个二维随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合p.d.f, 使得 XXX 的边际密度函数为

fX(x)=2π(b2−a2)[(b2−x2)+−(a2−x2)+]f_X\left( x \right) =\frac{2}{\pi \left( b^2-a^2 \right)}\left[ \sqrt{\left( b^2-x^2 \right) _+}-\sqrt{\left( a^2-x^2 \right) _+} \right] fX​(x)=π(b2−a2)2​[(b2−x2)+​​−(a2−x2)+​​]

其中 (⋅)+\left( \cdot \right) _+(⋅)+​ 表示 ⋅\cdot⋅ 的正部.

二、(20分) 现有I+,I−I^+,I^-I+,I−两种信号, 向后依次传播, 传播出错的概率是 ppp. 设初始信号为 I+I^+I+, 求

(1) 传播两次后, 信号还是 I+I^+I+ 的概率;

(2) 传播 nnn 次后, 信号是 I−I^-I− 的概率.

三、(15分) (X,Y)(X,Y)(X,Y) 有联合密度函数

f(x,y)=2(n+1)!(2y+x)ne−2y−x,x>0,y>0f\left( x,y \right) =\frac{2}{\left( n+1 \right) !}\left( 2y+x \right) ^ne^{-2y-x},x>0,y>0f(x,y)=(n+1)!2​(2y+x)ne−2y−x,x>0,y>0

设 U=2Y+X,V=3X+8YU = 2Y+X,V=3X+8YU=2Y+X,V=3X+8Y.

(1) 求 (U,V)(U,V)(U,V) 的联合分布以及 UUU 的边缘分布;

(2) 求 V∣U=uV\mid U=uV∣U=u 的条件分布;

(3) 求 E(X∣U=u)E(X\mid U = u)E(X∣U=u) 以及E(Y∣U=u)E(Y\mid U = u)E(Y∣U=u).

四、(20分) X,Y,Z,W,V,QX,Y,Z,W,V,QX,Y,Z,W,V,Q 服从独立标准正态分布, 求 T=(XW+YV+ZQ)2W2+V2+Q2T=\frac{\left( XW+YV+ZQ \right) ^2}{W^2+V^2+Q^2}T=W2+V2+Q2(XW+YV+ZQ)2​ 的分布.

五、(15分) 已知 Xn→pXX_n\rightarrow _pXXn​→p​X, 试证 Xn2→pX2X_{n}^{2}\rightarrow _pX^2Xn2​→p​X2.

六、(30分) X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1​,X2​,⋯,Xn​ 是来自泊松分布总体 P(θ)\mathcal{P}\left( \theta \right)P(θ) 的简单随机样本. 以 Tn=(1−1n)∑i=1nXiT_n=\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^{\sum_{i=1}^n{X_i}}Tn​=(1−n1​)∑i=1n​Xi​ 作为 e−θe^{-\theta}e−θ 的估计. 试问

(1) TnT_nTn​ 是否是无偏估计?

(2) TnT_nTn​ 是否是UMVUE?

(3) TnT_nTn​ 是否是有效估计?

七、(10分) 现有正态分布 N(μ,1)\mathcal{N}\left( \mu ,1 \right)N(μ,1) 的 nnn 个样本 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1​,x2​,⋯,xn​, 取值小于 000 时记为 111, 否则记为 000, 求 μ\muμ 的MLE.

八、(25分) 回归结果解读.